Filtrovaná zpětná projekce je proces provádění rekonstrukce, při němž se nejdříve provede filtrace samostatných projekcí, která sníží vliv hvězdicového efektu, a poté se provede přímá zpětná matematická rekonstrukce obrazu.

Filtrace je proces, při němž se určitá část kmitočtového spektra propouští a část se zadržuje či zeslabuje, to závisí na typu použitého filtru. U SPECT rekonstrukce obrazu tato technika slouží ke zlepšení výsledné kvality. Používá se k odstranění šumu a rušivých artefaktů v obrazu např. hvězdicového efektu. Filtrace se většinou uskutečňuje použitím vhodného digitálního filtru, může se realizovat hardwarově.  Pokud jsou obrazová data dána počtem detekovaných kvant na pixel (cpp = count per pixel), pak hovoříme o tzv. prostorové oblasti. V této oblasti může být pak provedena i filtrace těchto dat. Druhou možností je pak provedení filtrace v tzv. kmitočtové oblasti, kde jsou obrazová data z prostorové oblasti vyjádřena jako řada sinusovek s různou amplitudou, kmitočtem a fází, neboli původní obrazová data jsou nahrazena jistou aproximací.

 Filtrace v prostorové oblasti - konvoluce

Pro 1D signály by se jednalo o časovou oblast. Pro 2D signály - obrazy se tato oblast nazývá prostorová. Prostorová filtrace je velmi často používána u scintigrafických obrazů v prostorových souřadnicích x, y.

Filtrace se provádí tzv. konvolucí. Konvoluce je matematické vyjádření toho, do jaké míry je ovlivněn původní nezkreslený obraz přenosovými vlastnostmi konvolučního jádra. (Na použité konvoluční matici závisí, jaký bude výsledný rekonstruovaný obraz.) Realizuje se 9-bodovou dolní propustí, která vyhlazuje (=potlačuje či snížuje statistické fluktuace) redukuje hvězdicový artefakt.

Filtrace v prostorové oblasti se ukázala jako výpočetně obtížná, a proto se začala používat méně výpočetně náročná  filtrace ve frekvenční oblasti.

Filtrace ve frekvenční/Nyquistově oblasti - Fourierova transformace

Filtrace sestává ze tří etap. Nejdříve se musí provést převod do frekvenční oblasti a to Furierovou transformací, tím dostáváme tzv. transformanty a dalším výpočtem z těchto transformant (Re a Im část) dostaneme frekvenční spektrum. Dále proběhne samotná filtrace, tzn. že spektrum obrazu se vynásobí vhodnou funkcí nazývanou filtr, což má za následek lokální zvýšení či snížení (nebo dokonce vynulování) amplitud příslušných harmonických složek, vznikne tzv. filtrované spektrum. A nakonec se inverzní Fourierovou transformací toto filtrované spektrum převede zpět do prostorové oblasti - vzniká filtrovaný obraz.

Filtrace obrazu ve frekvenční oblasti spočívá ve vynásobení amplitudy každé harmonické složky spektra určitým koeficientem, který v závislosti na frekvenci zeslabí či zesílí její amplitudu. Soubor těchto koeficientů tvoří konkrétní filtr. Každý filtr je realizován matematickou funkcí F(n), která pro každou hodnotu prostorové frekvence generuje koeficient, kterým se bude násobit amplituda ve spektru obrazu na daném prostorovém kmitočtu. Funkční předpis filtru F(n) obsahuje volitelné parametry, které spolu s matematickou funkcí určují konkrétní kmitočtovou charakteristiku filtru a tím i účinek filtru. Každý druh filtru má své specifické vlastnosti a jednou z velmi důležitých a společných vlastností je tzv. "cutoff" čili mezní frekvence udávající maximální frekvenci, od níž směrem k vyšším kmitočtům budou již všechny vyšší harmonické anulovány.

Při filtraci SPECT obrazu aplikujeme tzv. filtr RAMP, který nám svojí kmitočtovou charakteristikou připomíná nájezdovou RAMPu, tj. jednotlivé kmitočty jsou lineárně zdůrazňovány, čímž se lokálně potlačuje "hvězdicový" artefakt. Filtr je doplněn o uživatelský filtr - low-pass (dolní propust - typ DP) filtr pro potlačení statistických fluktuací během detekce. Výsledná charakteristika takovéhoto filtru je dána součinem RAMP-filtru s uživatelským filtrem typu DP. Výsledkem tohoto postupu je potlačení "hvězdicového" artefaktu a vyšší kontrast obrazu. Jelikož však dochází k potlačení "hvězdicového" artefaktu pouze v nejbližším okolí aktivní léze, na okrajích obrazu se mohou jeho pozůstatky stále vyskytovat. Je to dáno tím, že se při SPECT vyšetření používá pouze omezené množství projekcí - typicky 60 nebo 120 [1].

 Matematicky lze ukázat, že oba druhy filtrace - v prostorové i frekvenční oblasti - jsou ekvivalentní a dávají identický výsledek (pokud filtr ve frekvenční oblasti je Fourierovým obrazem konvolučního filtru v prostorové oblasti). Filtrace ve frekvenční oblasti, ač je matematicky složitější, má některé výhody. Zde jen uvedeme, že filtry ve frekvenční oblasti se dají flexibilně měnit, přičemž podle tvaru kmitočtové charakteristiky (modulační přenosové funkce) filtru je názorně vidět, jaký bude mít účinek - které šumy či detaily v obraze zahladí či naopak.

Druhy používaných filtrů :

 Dolní propust/low-pass filtr

Jak jsme již zmínili, nejčastějším úkolem filtrace je vyhlazení obrazu a potlačení statistických fluktuací. Toho dosáhneme zeslabením či potlačením harmonických složek o vysokých frekvencích. Neboli vynásobením spektra vhodným filtrem, který pro nízké frekvence má hodnotu blízkou 1 a pro vysoké frekvence dosahuje nulu nebo se blíží k nule. Takové vyhlazující filtry se nazývají low-pass a propouštějí nízké frekvence.

Nejjednodušším low-pass filtrem je filtr obdélníkové funkce, což je vlastně ideální kmitočtová charakteristika filtru typu DP. Při filtraci dochází k tomu, že nízké frekvence jsou přenášeny zcela tj. s jednotkovým zesílením až do bodu "cutoff", v kterém dojde k anulování tj. frekvence vyšší než "cutoff" se nepřenesou.

Dalším filtrem, je filtr s kmitočtovou charakteristikou ve tvaru kosinové funkce, tj. plynule klesá od hodnoty 1 (pro frekvenci 0) až k 0 (pro maximální frekvenci).

Další občas používaný filtr je filtr s kmitočtovou charakteristikou pojmenovanou podle autora, tj. pana Hamminga, je to modifikovaný kosinový filtr, který má kromě parametru "cutoff" ještě parametr "strmost". Strmost udává, jak se filtr blíží k nule.

Filtr typu Parzen je kombinací dvou funkcí, do poloviny rozsahu je použita rychleji klesající funkce, na kterou navazuje pomalejší část.

Nejčastěji používaným low-pass filtrem je Butterworth. Má dva parametry, "cutoff" udávající mezní prostorovou frekvenci a řád "order" regulující strmost klesání filtru od hodnot blízkých 1 k nule. Právě tato vysoká "flexibilita" činí filtr Butterworth tak rozsáhle používaným.

Účinek filtrace je nepřímo úměrný ploše pod kmitočtovou charakteristikou filtru ve frekvenční oblasti. Čím menší hodnotu parametru "cutoff" zadáme, tím výraznější bude účinek filtru.

Nedá se říci, že některý z filtrů má lepší či horší vlastnosti. S každým low-pass filtrem totiž můžeme, vhodným nastavením jejich parametrů, dosáhnout stejného výsledku.

Pásmová propust/Pásmový filtr

Filtry, které kromě vyhlazování statistických fluktuací jsou schopny zaostřovat a zvýrazňovat detaily v obraze, se nazývají pásmové. Podmínkou úspěšnosti pásmových "fokuzačních" filtrů je kvalitní scintigrafický obraz s nízkými statistickými fluktuacemi. Zvýšení lokálního kontrastu a "zaostření" se docílí zesílením amplitud pro určité části vyšších harmonických frekvencí. Od low-pass filtrů se liší tím, že neklesají od 1 monotónně k nule, ale skládají se ze dvou částí. Na začátku funkce roste, což vede k zdůrazňování vyšších frekvencí a tím k fokuzaci neboli "zaostřování" detailů v obraze. V druhé části na ni plynule navazuje klesající část, analogie k low-pass-filtrům. Tato druhá část potlačuje vyšší frekvence a tak vyhlazuje statistické fluktuace, šumy. Vzestupná část je odvozena od inverzní hodnoty modulační přenosové funkce (MTF) a zabezpečuje optimální rekonstrukci (dekonvoluci - korekci obrazu po konvolučním "rozmazání" nedokonalým rozlišením kamery) a fokuzaci obrazu. Parametr "k" ("order") umožňuje plynule nastavovat stoupání (fokuzující) složky filtru, zatímco parametr "cutoff" určuje sestupnou (vyhlazující) složku filtru. Čím větší je vzestupná část filtru, tím výrazněji filtr fokuzuje. Pokud vzestupná část chybí - nízká hodnota parametru "k", filtr pouze vyhlazuje podobně jako každý jiný low-pass filtr. Nejpoužívanější pásmové filtry jsou typu Metz a typu Wiener.

Korekce útlumu

 Doprovodná prezentace: